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APRENDIENDO A RAZONAR JUGANDO
Guía Práctica Basada en el trabajo del Dr. Peter Davidson

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LOS CONJUNTOS CONTRAATACAN

Los terribles «conjuntos» producto de una teoría tenida confusamente como complicada y nacida de cerebros torturados y tortuosos, se revelan de hecho como una representación astuta y cómoda de operaciones conocidas: clasificar, comparar y distinguir. Su empleo, como herramienta de visualización, ha facilitado ampliamente la solución del «¿qué es lo que hace cada uno?». Pero, ¿dónde están las horrorosas dificultades que temíamos? ¿Es sólo una marioneta inofensiva el dragón esperado?

¡Que se tranquilicen los amantes de monstruos terroríficos, porque la somnolencia de nuestra principal atracción es sólo provisional!

En el momento en que la paradoja se convierta verdaderamente en un misterio, vamos a darnos cuenta de que poseemos suficientes datos como para esclarecer todo esto. Basta con examinar más detenidamente nuestra experiencia del «¿Qué es lo que hace cada uno?».

La utilización de una forma visual de los conjuntos disimula todo un aspecto embarazoso de las matemáticas: la comprensión y la práctica de un lenguaje particular. Hemos utilizado la teoría de los conjuntos sin definir su vocabulario básico, y sin tener que asimilarlo. Esta etapa de asimilación (en el sentido del capítulo 2, hipótesis 5) no es, cierta mente, propia de las matemáticas, pero se las encuentra en todas las disciplinas que, para trabajar mejor, crean los medios de expresión eficaces y económicos.

Existe, no obstante, una ligera diferencia en el caso de los conjuntos, difícilmente perceptible, pero de una significación considerable. El lenguaje usual descansa sobre objetos palpables, en nociones concretas. Echa raíces en la realidad física, significa una toma de conciencia que enrique ce el saber adquirido y se convierte en medio nuevo de representación. Esta trayectoria se identifica con el proceso de asimilación tal como lo hemos definido.

Los términos matemáticos básicos representan otra realidad, que existe entre nosotros inconscientemente: la del pensamiento. Para comprender que los conjuntos corresponden a las operaciones de clasificar, comparar y distinguir, es necesario haber tomado conciencia del grupo de operaciones mentales, del conjunto de factores del pensamiento en el que él se inscribe, y evaluado la importancia de estas tres operaciones.

 

Esta situación explica las dificultades para utilizar el lenguaje matemático. Su asimilación se ve muy perturbada por la falta de un soporte real consciente. La aparente ausencia de relación con el saber adquirido existente o cualquier otra realidad hace que la integración sea difícil y aleatoria; pare ce excluida toda adaptación a los problemas concretos. El vocabulario marginado, rechazado, no rebasa el estadio de memorización, y desaparece en el olvido.

Este problema del lenguaje está profundamente enraizado en la coexistencia de dos realidades, el «fuera-de-nosotros, consciente» y el «dentro-de-nosotros, a la espera de conciencia», igualmente importante los dos, pero correspondientes a ejercicios del fenómeno de asimilación muy diferentes.

Este obstáculo contribuye de modo considerable a dotar a las matemáticas de su lado propio de hechicería, reserva do a algunos iniciados, mientras que ellas son, como en el «¿Qué es lo que hace cada uno?», un complemento del pensamiento.

Para profundizar en este aspecto, volvemos a nuestro juego e intentamos ver que nociones de vocabulario de la teoría de los conjuntos debiéramos haber empleado si no hubiésemos soslayado el obstáculo.

De esta manera, podremos saber con exactitud de qué nos hemos librado y precisar l interés de este lenguaje específico.

Esto supone hacer el inventario de las operaciones esenciales utilizadas para hallar la solución del «qué es lo que hace cada uno?». Pasamos a hacerlo de forma rápida diciendo que estas operaciones son cuatro:

-clasificar a las personas por categorías (lectores, oyentes, telespectadores), es decir, ponerlas juntas,

-asociar a un conjunto el número de elementos que lo constituyen,

-comparar dos conjuntos y encontrar de ese modo sus elementos comunes,

-asociar varios conjuntos para hacer de ellos uno solo (asociar telespectadores, oyentes y lectores nos permite descubrir a los que son alérgicos a estos tres medios de información).

Llega el momento doloroso en el que es necesario establecer la representación matemática de estas cuatro operaciones:

La primera supone definir el contenido exacto del conjunto y darle un nombre (A, B, X...).

La segunda consiste en asociar a un conjunto el número de sus elementos y en representar este número por un símbolo sintetizado y comprensible. Reservemos, para formar esta representación, la letra N (como número) y, naturalmente, el nombre del conjunto denominado, lo que nos da:

N(A) = número de elementos del conjunto A

Las dos últimas consisten también en elegir los símbolos que representan, por una parte, los puntos comunes a los conjuntos y, por otra, el conjunto obtenido por la asociación de los elementos de dos conjuntos.

Para los puntos comunes emplearemos el signo I , que recuerda por su grafismo la parte común a dos conjuntos, y que se lee «intersección» en homenaje a la red de carreteras.

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A I B = conjunto de los elementos comunes de A y B

 

Para la asociación nos serviremos del signo U, una abreviatura de la palabra unión (sinónimo de asociación que ex presa que. se ponen juntos el conteni4o de dos conjuntos) y que, naturalmente, se leerá "unión".

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Las matemáticas dan aquí muestras de independencia. Por- que la «o» se emplea habitualmente más bien en el sentido de «ya... ya...», al modo como el encargado de un restaurante dice «queso o postre».

La «o» del encargado responde a distinguir, mientras que la «y» expresa comparar.

La «o» en matemáticas no es exclusiva; generosa, acepta acumulativamente el queso y el postre. Ser «telespectador u oyente» para los conjuntos significa que se tiene al me nos una de estas cualidades.

No hay nada en todo esto que pudiera pasar por extraordinario: una vez que se hallan restablecidos los lazos entre las nociones matemáticas de base y el pensamiento, los signos pretendidamente mágicos pierden casi totalmente su hermetismo. En el fondo, hemos elegido tres grafismos para representar cómodamente las operaciones simples y las re peticiones que se refieren a los conjuntos: contar, comparar, asociar.

¿Y para qué sirve esto?

El gran interés de este lenguaje es que permite crear conocimientos adquiridos por encima de toda realidad física concreta. Por ejemplo, se puede escribir:

 

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lo que es verdadero por una razón muy simple. Si se añade el número de elementos de A al de B, se cuentan dos veces los elementos comunes a los dos conjuntos. Es, pues, necesario sustraer una cantidad igual al número de estos elementos.

Pasado éste mal momento, constatamos que nuestro saber adquirido es 'todo terreno». Establece una equivalencia entre dos expresiones fuera de los objetos sobre los que ellas se aplican. He aquí la prueba:

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No hay respuesta en este caso. Nuestro saber adquirido patina. No está previsto actuar sobre tres conjuntos. Pero, ¿es esto algo irremediable? ¿Existe una expresión directa de este número?

Se puede, sin dificultad alguna, reagrupar las dos prime ras categorías en una sola: los usuarios de la radio o de la tele.

El problema se transforma. Ahora se trata de encontrar

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Permanece desconocido un solo término;

N((radio o tele) I periódico)

Estas personas son lectores que son también oyentes ó telespectadores. Dicho de otra manera, lectores que oyen la radio o lectores que ven la televisión. Los primeros constituyen el conjunto (radio I periódico), los segundos, el conjunto (tele I periódico). Los tres se agrupan en el conjunto: (radio I periódico) U (tele I periódico).

De donde obtenemos la. constatación:

(radio o tele) I periódico = (radio I periódico) U (tele I periódico)

Esto significa claramente que estos conjuntos son idénticos. Corresponden a dos formas diferentes de definir la misma categoría.

Esta observación produce una nueva transformación del problema. Contar los primeros o los segundos dará un resultado idéntico, puesto que representan al mismo conjunto. Lo que se expresa con nuestro lenguaje convencional por:

N((radio o tele) I periódico) = N((radio I periódico) U (tele I periódico))

La segunda expresión tiene una forma simpática. Reduce el cálculo a denominar los elementos de unión de los dos conjuntos, operación que se ha hecho familiar por la utilización de la igualdad:

N(AUB) = N(A)+N(B) - N(A I B)

De donde:

El último término de la suma está constituido por las personas que son oyente y lector y telespectador y lector. Mencionar dos veces la cualidad de lector es inútil. Es suficiente la forma simplificada siguiente:

N(radio I periódico I tele)

Finalmente:

N(radio I periód.)

N((radio I periód.) U (tele I periód;)) =     N(tele I periód.)

N(radio I periód. I tele)

 

Esto hace 30+25 - 10=45

Luego N((radio o tele) I  periódico) =45

Obtenemos, al fin, el último dato que faltaba. El rompe cabezas está desde ahora completo. Sabemos cuántas personas son televidentes, oyentes o lectoras:

N(tele U radio)

N(tele u radio u periód.) = N(periód.)

N((tele U radio) I periód.)

 

90 + 50 - 45 = 95

Lo que corresponde al resultado ya hallado.

¡Recobremos el sentido!

Este agitado periplo no habrá sido en vano. Este razona miento a base de sorpresas o lances imprevistos, lógicos y sucesivos, no se parece a los que ya habíamos tenido. Su naturaleza deductiva no ofrece ninguna duda, pero las deducciones no se efectúan, como anteriormente, a través de asociaciones de elementos conocidos, que representan una realidad precisa para producir algo nuevo.

La materia prima deductiva proviene del saber adquirido mismo. ¡Situación, al menos, nueva!

Si observamos con más detenimiento, nos damos cuenta de que nuestro razonamiento se apoya enteramente (fuera del lenguaje empleado) en dos conocimientos adquiridos.

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empleado una vez para transformar la expresión ((radio o tele) n periódico). y encontrar una forma en la que se aplique el anterior saber adquirido.

Por ten a accidentes cerebrales, siempre posibles, y a modo de astucia para adormecer al dragón, hemos conservado en los conjuntos un contenido real explícito (oyentes, telespectadores). Hubiéramos podido prescindir de este artificio.

Arriesguémonos a dar una prueba de ello empleando el cuadro siguiente en el que el saber adquirido número 1 representará:

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Este, cuadro lo podemos resumir en una figura que repite un esquema ya familiar (ver página siguiente).

UNA SIMETRÍA INESPERADA

 

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